Hasła programowe

Wymagania szczegółowe. Uczeń:

1. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

• Reguła mnożenia, reguła dodawania

• zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę

mnożenia i regułę dodawania.

• Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

• oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

2. Statystyka

• Średnia arytmetyczna, mediana i dominanta

• oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę;
• wykorzystuje średnią arytmetyczną, medianę i dominantę do rozwiązywania zadań.

• Średnia ważona, odchylenie standardowe

• oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych.

3. Stereometria  

• Proste i płaszczyzny w przestrzeni

• wskazuje w wielościanach proste prostopadłe, równoległe i skośne;
• wskazuje w wielościanach rzut prostokątny danego odcinka.

• Graniastosłupy

• sporządza rysunek graniastosłupa wraz z oznaczeniami;
• oblicza pole powierzchni i objętość  graniastosłupa prostego.

• Ostrosłupy

• sporządza rysunek ostrosłupa wraz z oznaczeniami;
• oblicza pole powierzchni i objętość ostrosłupa.

• Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach

• wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi itp.), oblicza miary tych kątów;
• wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.

• Kąt dwuścienny

• wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami.

• Przekroje prostopadłościanów

• określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.

• Bryły obrotowe

• oblicza pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

• Kąty w walcach i stożkach

• rozpoznaje w walcach i w stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów.

• Zastosowania trygonometrii w stereometrii

• stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości wielościanów i brył obrotowych.

• rozpoznaje jednomiany i sumy algebraiczne

• oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

• redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej

• dodaje, odejmuje i mnoży sumy algebraiczne

• przekształca wyrażenia algebraiczne, uwzględniając kolejność wykonywania działań

• przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia

• stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na liczbach postaci {C}{C}{C}{C}

• rozwiązuje równania kwadratowe niepełne metodą rozkładu na czynniki oraz stosując wzory skróconego mnożenia

• rozwiązuje równania kwadratowe, stosując wzory na pierwiastki

• przedstawia trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej

• rozwiązuje równania wyższych stopni, korzystając z definicji pierwiastka i własności iloczynu

• rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych

• rozwiązuje równania wyższych stopni, stosując zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias

3. · rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące rozwiązywania równań wyższego stopnia

3. · korzystając z wykresu wielomianu, podaje miejsca zerowe, zbiór argumentów, dla których wielomian przyjmuje wartości dodatnie/ujemne/niedodatnie/nieujemne

· rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem wykresu lub wzoru wielomianu

• wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne

• stosuje zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi do rozwiązywania prostych zadań

• wyznacza współczynnik proporcjonalności

• podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu

• szkicuje wykres funkcji {C}{C}{C}{C}{C} {C}{C}, gdzie {C}{C}{C}{C}  i podaje jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności)

• szkicuje wykresy funkcji oraz {C}{C}{C}{C}  i odczytuje jej własności

• wyznacza asymptoty wykresu powyższych funkcji

• dobiera wzór funkcji do jej wykresu

• wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego

• oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej

• skraca i rozszerza proste wyrażenia wymierne

• wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych (proste przypadki) i podaje odpowiednie założenia

• rozwiązuje proste równania wymierne

• wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania prostych zadań tekstowych

• rozwiązuje zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną

• szkicuje wykres funkcji {C}{C}{C}{C} {C} w podanych przedziałach

• wyznacza współczynnik a tak, aby funkcja {C}{C}{C}{C}  spełniała podane warunki

• wyznacza wzory funkcji {C}{C}{C}{C}{C} {C}{C} oraz{C}{C}{C}{C} spełniających podane warunki

• wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, korzystając z prostych równań kwadratowych

• wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia

• przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych

• rozwiązuje równania wymierne

• wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania trudniejszych zadań tekstowych

• wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonalne do rozwiązywania zadań tekstowych dotyczących prędkości

• rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji i wyrażeń wymiernych

• przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej i szkicuje wykres funkcji {C}{C}{C}{C}  oraz podaje jej własności

• oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych

• zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym

• zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o danej podstawie

• upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach (proste przypadki)

• porównuje liczby przedstawione w postaci potęg (proste przypadki)

• wyznacza wartości funkcji wykładniczej dla podanych argumentów

• sprawdza, czy punkt należy do wykresu funkcji wykładniczej

• wyznacza wzór funkcji wykładniczej i szkicuje jej wykres, znając współrzędne punktu należącego do jej wykresu

• szkicuje wykres funkcji wykładniczej, stosując przesunięcie o wektor i określa jej własności

• szkicuje wykres funkcji, będący efektem jednego przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej i określa jej własności

• oblicza logarytm danej liczby

• stosuje równości wynikające z definicji logarytmu do prostych obliczeń

• wyznacza podstawę logarytmu lub liczbę logarytmowaną, gdy dana jest jego wartość

• rozwiązuje równania wykładnicze, stosując logarytm

• oblicza logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, stosując odpowiednie twierdzenia o logarytmach

• upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach

• porównuje liczby przedstawione w postaci potęg

• odczytuje rozwiązania nierówności na postawie wykresów funkcji wykładniczych

• podaje odpowiednie założenia dla podstawy logarytmu lub liczby logarytmowanej

• podaje przybliżoną wartość logarytmów dziesiętnych z wykorzystaniem tablic

• stosuje twierdzenie o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi do uzasadnienia równości wyrażeń

• wykorzystuje własności funkcji wykładniczej i logarytmu do rozwiązywania zadań o kontekście praktycznym

• dowodzi twierdzenia o logarytmach

• wykorzystuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu w zadaniach  

• rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej

• wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych wyrazów

• szkicuje wykres ciągu

• wyznacza wzór ogólny ciągu, mając danych kilka jego początkowych wyrazów

• wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym lub słownie

• wyznacza, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość

• podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy spełniają dane warunki

• uzasadnia, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane jego kolejne wyrazy

• wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym

• podaje przykłady ciągów arytmetycznych

• wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany pierwszy wyraz i różnicę

• wyznacza wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy

• sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny (proste przypadki)

• wyznacza wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy

• sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny (proste przypadki)

• stosuje średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów ciągu arytmetycznego (proste przypadki)

• określa monotoniczność ciągu arytmetycznego i geometrycznego

• oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego

• podaje przykłady ciągów geometrycznych

• wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz i iloraz

• stosuje monotoniczność ciągu geometrycznego do rozwiązywania prostych zadań

• stosuje własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego do rozwiązywania prostych zadań

• oblicza wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji

• oblicza oprocentowanie lokaty (proste przypadki)

• wyznacza wzór ogólny ciągu spełniającego podane warunki

• bada monotoniczność ciągów

• rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące monotoniczności ciągu

• wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły ciąg arytmetyczny lub geometryczny

• sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny

• sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny

• rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

• rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego

• określa monotoniczność ciągu arytmetycznego i geometrycznego

• stosuje własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego w zadaniach

• rozwiązuje zadania związane z kredytami dotyczące okresu oszczędzania i wysokości oprocentowania

• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące monotoniczności ciągu

• wyznacza wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie

• dowodzi wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

• stosuje średnią geometryczną do rozwiązywania zadań

• rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące ciągów

• podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

• podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych  w trójkącie prostokątnym

• odczytuje z tablic wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego

• znajduje w tablicach kąt ostry, gdy dana jest wartość jego funkcji trygonometrycznej

3. · rozwiązuje trójkąty prostokątne w prostych zadaniach

3. · oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany sinus, cosinus kąta

• podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

• stosuje zależności między funkcjami trygonometrycznymi do upraszczania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

• stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania prostych zadań osadzonych w kontekście praktycznym

3. · zaznacza kąt w układzie współrzędnych

• wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym ramieniu

• określa znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90°, 120°, 135°

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach

• stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych o podwyższonym stopniu trudności

• rozwiązuje trójkąty prostokątne

• oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany tangens  kąta

• uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi

• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące funkcji trygonometrycznych

• stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym a kątem nachylenia prostej do osi OX

• podaje i stosuje wzory na długość okręgu, długość łuku, pole koła i pole wycinka koła

• określa wzajemne położenie okręgów, mając dane promienie tych okręgów oraz odległość ich środków

• oblicza pola figur, stosując zależności między okręgami (proste przypadki)

• określa liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu przy danych warunkach

• stosuje własności stycznej do okręgu do rozwiązywania prostych zadań

• rozpoznaje kąty wpisane i środkowe w okręgu oraz wskazuje łuki, na których są one oparte

• stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym, opartych na tym samym łuku (proste przypadki)

• podaje różne wzory na pole trójkąta

• oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór (proste przypadki)

• rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny lub równoboczny

• rozwiązuje zadania związane z okręgiem opisanym na trójkącie

• podaje wzory na pole równoległoboku, rombu i trapezu

• wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól czworokątów (proste przypadki)

• oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych

• oblicza odwód wielokąta, mając dane współrzędne jego wierzchołków

• stosuje wzór na odległość między punktami do rozwiązywania prostych zadań

• wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców

• rysuje figury symetryczne w danej symetrii osiowej

• konstruuje figury symetryczne w danej symetrii środkowej

• określa liczbę i wskazuje osi symetrii figury

• wskazuje środek symetrii figury

• znajduje obrazy figur geometrycznych w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych

• znajduje obrazy figur geometrycznych w symetrii środkowej względem środka układu współrzędnych

• stosuje własności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywania prostych zadań

• stosuje wzory na długość okręgu, długość łuku okręgu, pole koła i pole wycinka koła do obliczania pól i obwodów figur

• oblicza pole figury, stosując zależności między okręgami

• stosuje własności stycznej do okręgu do rozwiązywania trudniejszych zadań

• stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz wnioski z tego twierdzenia do rozwiązywania zadań o większym stopniu trudności

• stosuje różne wzory na pole trójkąta i przekształca je

• wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do obliczania pól innych wielokątów

• rozwiązuje zadania związane z okręgiem wpisanym w dowolny trójkąt i opisanym na dowolnym trójkącie

• stosuje własności środka okręgu opisanego na trójkącie w zadaniach z geometrii analitycznej

• wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól czworokątów

• stosuje wzór na odległość między punktami oraz środek odcinka do rozwiązywania trudniejszych zadań

• stosuje własności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywania trudniejszych zadań

• dowodzi twierdzenia dotyczące kątów w okręgu

• dowodzi wzoru na pole trójkąta

• rozwiązuje zadania z planimetrii o znacznym stopniu trudności

• stosuje przesunięcie figury o wektor do rozwiązywania zadań

• podaje środek obrotu i kąt obrotu w prostych sytuacjach

• opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt

• wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie