1. LICZBY RZECZYWISTE

15

1. Liczby naturalne

-      definicja dzielnika liczby naturalnej

-      definicja liczby pierwszej

-      cechy podzielności liczb naturalnych

-      definicja liczby parzystej
i nieparzystej

-      rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze

-      znajdowanie NWD i NWW

-      twierdzenie o rozkładzie liczby na czynniki pierwsze

Uczeń:

-      podaje przykłady liczb pierwszych, liczb parzystych i nieparzystych

-      podaje dzielniki danej liczby naturalnej

-      przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych

-      oblicza NWD i NWW

-      przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb

K

P

P

P–R

D–W

1

2. Liczby całkowite. Liczby wymierne

-      definicja liczby całkowitej

-      definicja liczby wymiernej

-      oś liczbowa

-      kolejność wykonywania działań

Uczeń:

-      rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne
wśród podanych liczb

-      podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych

-      odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi liczbowej

-      wykonuje działania na liczbach wymiernych

K

K

K

K–P

1

3. Liczby niewymierne

-      definicja liczby niewymiernej

-      konstruowanie odcinków
o długościach niewymiernych

Uczeń:

-      wskazuje liczby niewymierne wśród podanych liczb

-      konstruuje odcinki o długościach niewymiernych

-      zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej

-      wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie muszą być liczbami niewymiernymi

-      szacuje wartości liczb niewymiernych

K

P–R

P–D

R–D

K–P

1

4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

-      postać dziesiętna liczby rzeczywistej

-      metoda przedstawiania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej

-      metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w postaci ułamków zwykłych

-      reguła zaokrąglania

-      przybliżanie z nadmiarem
i z niedomiarem

-      błąd przybliżenia

Uczeń:

-      wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne

wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej

-      wyznacza rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych

-      wyznacza wskazaną cyfrę po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym okresowym danej liczby

-      zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki zwykłe

-      przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych

-      zaokrągla liczbę z podaną dokładnością

-      oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy z niedomiarem

K

K

R – D

K

P–R

K

K–P

1

5. Pierwiastek kwadratowy

-      definicja pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej

-      działania na pierwiastkach kwadratowych

Uczeń:

-      oblicza wartość pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej

-      wyłącza czynnik przed znak pierwiastka kwadratowego

-      włącza czynnik pod znak pierwiastka kwadratowego

-      wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki kwadratowe, stosując prawa działań na pierwiastkach

-      usuwa niewymierność z mianownika, gdy w mianowniku występuje wyrażenie , oraz szacuje przybliżoną wartość takich wyrażeń

K

P–R

P–R

P–R

P–R

1

6. Pierwiastek sześcienny

-      definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej

-      definicja pierwiastka stopnia parzystego i nieparzystego

-      działania na pierwiastkach

Uczeń:

-      oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej

-      oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia

-      wyłącza czynnik przed znak pierwiastka

-      włącza czynnik pod znak pierwiastka

-      porównuje liczby zapisane za pomocą pierwiastków

-      wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach

-      usuwa niewymierność z mianownika ułamka, gdy w mianowniku występuje

K

K–P

P–R

P–R

P–R

P–R

P–R

1

7. Potęga o wykładniku całkowitym

-      definicja potęgi o wykładniku naturalnym

-      definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym

-      twierdzenia o działaniach

na potęgach o wykładnikach całkowitych

Uczeń:

-      oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym
i całkowitym ujemnym

-      porządkuje liczby zapisane w postaci potęg, korzystając

z własności potęg

-      stosuje prawa działań na potęgach do obliczania wartości wyrażeń

-      stosuje prawa działań na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych

-      porównuje liczby zapisane w postaci potęg

P

P–R

P–R

P–R

P–R

1

8. Potęga o wykładniku wymiernym

-      definicja potęgi o wykładniku  liczby nieujemnej

-      definicja potęgi o wykładniku wymiernym liczby dodatniej

-      prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych

Uczeń:

-      zapisuje pierwiastek n-tego stopnia w postaci potęgi

o wykładniku

-      oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych

-      zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym

-      upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach

K

K

K–P

P–R

2

9. Logarytm i jego własności

-      definicja logarytmu dziesiętnego

-      definicja logarytmu o podstawie  z liczby dodatniej

-      własności logarytmu:

, ,

gdzie

-      twierdzenia o logarytmie iloczynu, logarytmie ilorazu oraz logarytmie potęgi

Uczeń:

-      oblicza logarytm danej liczby

-      stosuje równości wynikające z definicji logarytmu

do obliczeń

-      wyznacza podstawę logarytmu, gdy dana jest wartość logarytmu, podaje odpowiednie założenia dla podstawy logarytmu oraz liczby logarytmowanej

-      stosuje twierdzenie o logarytmie iloczynu, ilorazu oraz potęgi do obliczania wartości wyrażeń z logarytmami

-      stosuje twierdzenie o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi do uzasadniania równości wyrażeń

-      uzasadnia podstawowe własności logarytmów

K–P

P–R

P–R

P–R

R–D

D

2

10. Procenty

-      pojęcie procentu

-      pojęcie promila

Uczeń:

-      oblicza procent danej liczby

-      oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

-      wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent

-      zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent

-      stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych

K

P

P

P

P–R

1

11. Powtórzenie wiadomości
12. Praca klasowa i jej omówienie

3

2. Język matematyki

17

1. Zbiory

-      sposoby opisywania zbiorów

-      zbiory skończone i nieskończone

-      zbiór pusty

-      definicja podzbioru

-      relacja zawierania zbiorów

-      zapis symboliczny zbiorów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych

Uczeń:

-      posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór skończony, zbiór nieskończony

-      wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego nienależące

-      opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór

-      określa relację zawierania zbiorów

-      wypisuje podzbiory danego zbioru

K

P

P–R

P–R

P–R

1

2. Działania na zbiorach

-      iloczyn zbiorów

-      suma zbiorów

-      różnica zbiorów

-      dopełnienie zbioru

Uczeń:

-      posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów

-      wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów

-      przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań na trzech dowolnych zbiorach

-      wyznacza dopełnienie zbioru

P

P–R

R–D

R

1

3. Przedziały

-      określenie przedziałów: otwartego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prawostronnie domkniętego, ograniczonego, nieograniczonego

-      zapis symboliczny przedziałów

Uczeń:

-      rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, ograniczony, nieograniczony

-      zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej

-      odczytuje i zapisuje symbolem przedział zaznaczony na osi liczbowej

-      wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami

-      wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane warunki

K

K

K

P

P–D

1

4. Działania na przedziałach

-      iloczyn, suma, różnica przedziałów

Uczeń:

-      wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza je na osi liczbowej

-      wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie

P

R–D

1

5. Rozwiązywanie nierówności

-      nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

-      nierówności ostre i nieostre

-      nierówności równoważne

Uczeń:

-      sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności

-      rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym nierówności sprzeczne i tożsamościowe

-      zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału

-      stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym

K

K–R

K

P–D

2

6. Wyłączanie jednomianu przed nawias

-      wyłączanie jednomianu przed nawias

Uczeń:

-      wyłącza wskazany jednomian przed nawias

-      zapisuje wyrażenia algebraiczne w postaci iloczynu

-      stosuje metodę wyłączania jednomianu przed nawias do dowodzenia podzielności liczb

K

K–R

P–D

1

7. Mnożenie sum algebraicznych

-      mnożenie sum algebraicznych

Uczeń:

-      mnoży sumy algebraiczne

-      przekształca wyrażenia algebraiczne, uwzględniając kolejność wykonywania działań

-     wykonuje działania na liczbach postaci

-      wykorzystuje wyrażenia algebraiczne do opisu zależności

-      dowodzi podzielności liczb

-      rozwiązuje równania i nierówności

K–P

P–R

P–R

P–R

D–W

P–D

1

8. Wzory skróconego mnożenia

-      wzory skróconego mnożenia
(a b)² oraz a² – b²

Uczeń:

-      stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy kwadratów

-      przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia

-      stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na liczbach postaci

-      wyprowadza wzory skróconego mnożenia

-      stosuje wzory skróconego mnożenia do dowodzenia własności liczb

K

P – D

P – D

R

D–W

2

9. Zastosowanie przekształceń algebraicznych

-      zastosowanie przekształceń algebraicznych do przekształcania równoważnego równań i nierówności

-      usuwanie niewymierności
z mianownika

Uczeń:

-      stosuje przekształcenia algebraiczne do rozwiązywania równań oraz nierówności

-      usuwa niewymierność z mianownika ułamka

-      stosuje wzory skróconego mnożenia do dowodzenia twierdzeń

P – R

P–D

D–W

2

10. Wartość bezwzględna

-      definicja wartości bezwzględnej

-      interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Uczeń:

-      oblicza wartość bezwzględną danej liczby

-      upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną

-      rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną

K–P

P–R

P–D

2

11. Powtórzenie wiadomości

12. Praca klasowa i jej omówienie

3

3. Układy równań

12

1. Co to jest układ równań

-      pojęcie układu równań

-      rozwiązanie układu równań

Uczeń:

-      podaje pary liczb spełniające równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

-      sprawdza, czy dana para liczb jest rozwiązaniem układu równań

-      dopisuje drugie równanie tak, aby dana para liczb spełniała dany układ równań

-      zapisuje podane informacje w postaci układu równań

K–P

K

P

R–D

1

2. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

-      rozwiązywania układów równań metodą podstawiania

-      definicja układu równań oznaczonego, sprzecznego, nieoznaczonego

Uczeń:

-      rozwiązuje układ równań metodą podstawiania

-      określa typ układu równań (czy dany układ równań
jest układem oznaczonym, nieoznaczonym czy sprzecznym)

-      dopisuje drugie równanie tak, aby układ równań był układem oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym

K–R

K

P

2

3. Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

-      rozwiązywania układów równań metodą przeciwnych współczynników

Uczeń:

-      rozwiązuje układ równań metodą przeciwnych współczynników

-      zapisuje rozwiązanie układu równań w przypadku, gdy jest to układ nieoznaczony

K–P

R

2

4. Układy równań – zadania tekstowe

-      zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych

Uczeń:

-      układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią

-      rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące sytuacji praktycznych, w tym zadania dotyczące prędkości oraz wielkości podanych za pomocą procentów: stężeń roztworów i lokat bankowych

P–D

R–D

3

5. Powtórzenie wiadomości

6. Praca klasowa i jej omówienie

4

4. FunkcjE

14

1. Pojęcie funkcji

-      definicja funkcji

-      sposoby opisywania funkcji

-      pojęcia: dziedzina, argument, przeciwdziedzina, wartość funkcji

-      definicja miejsca zerowego funkcji

Uczeń:

-      stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość funkcji, miejsce zerowe funkcji

-      rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują funkcje

-      podaje miejsca zerowe funkcji

-      opisuje funkcję różnymi sposobami: za pomocą grafu, tabeli, opisu słownego

-      odczytuje wartość funkcji dla danego argumentu

-      odczytuje argumenty, dla których funkcja przyjmuje określoną wartość

K

K–R

K–P

K–R

K–P

K–R

1

2. Szkicowanie wykresu funkcji

-      wykres funkcji

Uczeń:

-      szkicuje wykresy funkcji o zadanej dziedzinie

-      przedstawia funkcję za pomocą wzoru

-      szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym wzorem (w tym prostą, parabolę, hiperbolę)

-      szkicuje wykres funkcji określonej różnymi wzorami
w różnych przedziałach

-      sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu funkcji

-      rozpoznaje, czy dana krzywa jest wykresem funkcji

-      oblicza wartość funkcji dla danego argumentu

K–R

P–R

K–R

P–D

K–R

K–R

R

2

3. Monotoniczność funkcji

-      definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej

-      pojęcie funkcji monotonicznej

-      definicje: funkcji nierosnącej
i niemalejącej

-      pojęcie funkcji przedziałami monotonicznej

Uczeń:

-      stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, malejącej, stałej, nierosnącej, niemalejącej)

-      na podstawie wykresu funkcji określa jej monotoniczność

-      rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach monotoniczności

-      bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji określonej wzorem

K

K–R

P–R

W

1

4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu

-      zbiór wartości funkcji

-      największa i najmniejsza wartość funkcji

-      znak wartości funkcji

Uczeń:

-      stosuje pojęcia: zbiór wartości funkcji, największa i najmniejsza wartość funkcji

-      odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie; maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, najmniejszą i największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane

-      odczytuje z wykresu rozwiązania równań i nierówności

K–P

K–D

R–D

2

5. Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY

-      metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x) + q dla q > 0

oraz y = f(x) – q dla q > 0

Uczeń:

-      rysuje wykresy funkcji:

y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) – q dla q > 0

K–R

1

6. Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX

-      metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x – p) dla p > 0
oraz y = f(x + p) dla p > 0

Uczeń:

-      rysuje wykresy funkcji: y = f(x – p) dla p > 0 oraz y = f(x + p) dla p > 0

K–R

1

7. Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi OX

-      metoda otrzymywania wykresu funkcji y = – f(x)

-      metoda otrzymywania wykresu funkcji y = – [f(x – p) + q]

Uczeń:

-      szkicuje wykresy funkcji y = – f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x)

-      szkicuje wykresy funkcji y = – [f(x – p) + q] na podstawie wykresu funkcji y = f(x)

K–R

P–R

1

8. Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi OY

-      metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(–x)

Uczeń:

-      szkicuje wykresy funkcji y = f(–x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x)

K–R

1

9. Proporcjonalność odwrotna

-      pojęcie proporcjonalności odwrotnej

-      współczynnik proporcjonalności odwrotnej

Uczeń:

-      wyznacza współczynnik proporcjonalności odwrotnej

-      szkicuje wykres funkcji , gdzie a > 0 i x > 0

-      stosuje proporcjonalność odwrotną do rozwiązywania zadań, np. dotyczących drogi, prędkości i czasu

K

K–P

P–D

1

10. Powtórzenie wiadomości

11. Praca klasowa i jej omówienie

3

5. FunkcjA LiNIOWA

15

1. Wykres funkcji liniowej

-      definicja funkcji liniowej

-      wykres funkcji liniowej

-      współczynnik kierunkowy prostej

-      proste równoległe

-      pojęcia: pęk prostych, środek pęku

-      punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią OY

Uczeń:

-      rozpoznaje funkcję liniową, jeśli ma dany jej wzór,
oraz szkicuje jej wykres

-      interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są równoległe

-      wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez dany punkt

-      sprawdza, czy punkt należy do wykresu funkcji liniowej

-      stosuje własności funkcji liniowej do obliczania pól wielokątów

K–P

K

P–R

K–P

P–R

2

2. Własności funkcji liniowej

-      miejsce zerowe funkcji liniowej

-      monotoniczność funkcji liniowej

-      proporcjonalność prosta

Uczeń:

-      wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji liniowej danej wzorem

-      wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecina osie układu współrzędnych, oraz podaje, w których ćwiartkach układu znajduje się wykres

-      określa monotoniczność funkcji liniowej w zależności od parametru

-      rozpoznaje wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalnie

K

K–P

P–R

K–P

2

3. Równanie prostej
na płaszczyźnie

-      równanie kierunkowe prostej

-      równanie ogólne prostej

Uczeń:

-      podaje równanie kierunkowe i ogólne prostej

-      zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej (i odwrotnie)

-      wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

-      rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym

K

P–R

P

P

1

4. Współczynnik kierunkowy prostej

-      współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

-      interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego

Uczeń:

-      oblicza współczynnik kierunkowy prostej, jeśli ma dane współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej

-      szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika kierunkowego

-      odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, jeśli ma dany wykres

-      wyprowadza wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

K

K–R

P–D

W

1

5. Warunek prostopadłości prostych

-      warunek prostopadłości prostych
o danych równaniach kierunkowych

-      wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej prostej

Uczeń:

-      podaje warunek prostopadłości prostych o danych równaniach kierunkowych

-      wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej
i przechodzącej przez dany punkt

-      udowadnia warunek prostopadłości prostych o danych równaniach kierunkowych

-      rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań

K

P–R

D–W

P–R

2

6. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

-      interpretacja geometryczna układu oznaczonego, sprzecznego i nieoznaczonego

Uczeń:

-      interpretuje geometrycznie układ równań

-      rozwiązuje układ równań metodą algebraiczną i metodą graficzną

-      wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem prostych

K

K–P

P–R

2

7. Funkcja liniowa – zastosowania

-      tworzenie modelu matematycznego opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne

Uczeń:

-      przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji liniowej

-      rozwiązuje ułożone przez siebie równanie (nierówność)
lub analizuje własności funkcji liniowej

-      przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź

P–R

P–R

P–D

1

8. Powtórzenie wiadomości
9. Praca klasowa i jej omówienie

4

6. Planimetria

10

1. Miary kątów w trójkącie

-      klasyfikacja trójkątów

-      twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

-      dwusieczna kąta, kąt przyległy, kąt zewnętrzny trójkąta

-      punkty specjalne w trójkącie

Uczeń:

-      klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów

-      stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań

-      oblicza sumę miar kątów wewnętrznych n-kąta

-      wyznacza liczbę boków wielokąta, znając sumę miar kątów wewnętrznych

-      przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie oraz twierdzenia o mierze kąta zewnętrznego trójkąta

K

K–R

P–R

P–R

D

1

2. Trójkąty przystające

-      definicja trójkątów przystających

-      cechy przystawania trójkątów

-      nierówność trójkąta

Uczeń:

-      podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania trójkątów

-      wskazuje trójkąty przystające

-      stosuje cechy przystawania trójkątów w zadaniach na dowodzenie

-      stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań

K

P–R

R–W

P–D

1

3. Twierdzenie Talesa

-      twierdzenie Talesa

-      twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Talesa

Uczeń:

-      podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Talesa

-      wykorzystuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Talesa do rozwiązywania zadań

-      wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka w danym stosunku

-      przeprowadza dowód twierdzenia Talesa

-      przeprowadza dowody twierdzeń z zastosowaniem twierdzenia Talesa

K

P–D

R–D

W

W

1

4. Wielokąty podobne

-      definicja wielokątów podobnych

-      skala podobieństwa

-      zależność między obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa

Uczeń:

-      rozumie pojęcie figur podobnych

-      oblicza długości boków w wielokątach podobnych

-      wykorzystuje zależności między obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań

-      udowadnia elementarne własności wielokątów podobnych

K

K–R

K–D

D–W

1

5. Trójkąty podobne

-      cechy podobieństwa trójkątów

Uczeń:

-      podaje cechy podobieństwa trójkątów

-      sprawdza, czy dane trójkąty są podobne

-      oblicza długości boków trójkąta podobnego do danego w danej skali

-      układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć szukane długości boków trójkątów podobnych

-      wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań, udowadnia podobieństwo trójkątów, stosując cechy podobieństwa

K

K–P

K–R

P–D

R–W

1

6. Pola wielokątów podobnych

-      zależność między polami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa

Uczeń:

-      wykorzystuje zależności między polami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań

K–D

1

7. Twierdzenie
o dwusiecznej kąta w trójkącie

-      twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Uczeń:

-      wykorzystuje twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie
do rozwiązywania zadań

-      przeprowadza dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta
w trójkącie oraz inne dowody, stosując twierdzenie o dwusiecznej

K–D

W

1

8. Powtórzenie wiadomości

9. Praca klasowa i jej omówienie

3

7. WSTĘP DO FunkcjI kwadratowEJ

7

1. Wykres funkcji
f(x) = ax²

-      wykres i własności funkcji
f(x) = ax², gdzie a ¹ 0

Uczeń:

-      szkicuje wykres funkcji f(x) = ax²

-      podaje własności funkcji f(x) = ax²

-      stosuje własności funkcji f(x) = ax² do rozwiązywania zadań

K

K

P–R

1

2. Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax² wzdłuż osi OX i OY

-      metoda otrzymywania wykresów funkcji:

,

,  

-      własności funkcji:
,
,

-      współrzędne wierzchołka paraboli

-      równanie osi symetrii paraboli

Uczeń:

-     szkicuje wykresy funkcji: ,
,  i podaje ich własności

-     stosuje własności funkcji: ,
,  do rozwiązywania zadań

K–P

R

2

3. Postać kanoniczna
i postać ogólna funkcji kwadratowej

-      postać ogólna funkcji kwadratowej

-      postać kanoniczna funkcji kwadratowej

-      trójmian kwadratowy

-      wyróżnik trójmianu kwadratowego

-      współrzędne wierzchołka paraboli – wzory

-      rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci

Uczeń:

-      podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej

-      oblicza wyróżnik trójmianu kwadratowego

-      oblicza współrzędne wierzchołka paraboli, podaje równanie jej osi symetrii

-      przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania do kwadratu
lub wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej wykres

-      przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej
do postaci ogólnej

-      wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej, jeśli ma dane współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu

-      wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli

K

K

K

P–R

P

P–R

W

2

4. Powtórzenie wiadomości

5. Praca klasowa i jej omówienie

2

Razem

90

1. FUNKCJA KWADRATOWA

28

1. Wykres funkcji kwadratowej – powtórzenie

-      wykres funkcji
,
gdzie

Uczeń:

-      szkicuje wykres funkcji , gdzie , i odczytuje z wykresu jej własności

-     szkicuje wykres funkcji kwadratowej , gdzie , i odczytuje z wykresu jej własności

K

K–P

2

2. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej – powtórzenie

-      postać ogólna i postać kanoniczna funkcji kwadratowej

-      trójmian kwadratowy

-      współrzędne wierzchołka paraboli

-      wyróżnik trójmianu kwadratowego

-      oś symetrii paraboli

Uczeń:

-    podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej

-    przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli); szkicuje wykres danej funkcji

-    przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do postaci ogólnej

-    wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej, gdy dane są współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu

-    wyznacza równanie osi symetrii paraboli

K

K–P

K

K–P

K–P

3

3. Równania kwadratowe (1)

-      pierwiastki równania kwadratowego

-      metoda rozwiązywania równań kwadratowych przez rozkład na czynniki

-      interpretacja geometryczna rozwiązań równania kwadratowego

Uczeń:

-      stosuje wzory skróconego mnożenia oraz metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do przedstawienia wyrażenia w postaci iloczynu

-      rozwiązuje równanie kwadratowe za pomocą rozkładu na czynniki

-      interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego

-      wyznacza algebraicznie współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

K

K–R

K

K–P

2

4. Równania kwadratowe (2)

-      zależność między znakiem wyróżnika a liczbą rozwiązań równania kwadratowego

-      wzory na pierwiastki równania kwadratowego

Uczeń:

-      określa liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od znaku wyróżnika

-      rozwiązuje równanie kwadratowe, stosując wzory na pierwiastki

-      interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego w zależności od współczynnika a i wyróżnika

-      wykorzystuje poznane wzory do szkicowania wykresu funkcji kwadratowej

K

K–R

K

P–D

2

5. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (1)

-      definicja postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

-      twierdzenie o istnieniu postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

Uczeń:

-      definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek jej istnienia

-      sprawdza, czy funkcję kwadratową można zapisać w postaci iloczynowej

-      zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej

-      odczytuje miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postaci iloczynowej

-      przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do postaci ogólnej

K

P

P

K–P

P

2

6. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (2)

-      oś symetrii paraboli i jej związek z miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

Uczeń:

-      wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań o różnym stopniu trudności

-      zapisuje w każdej z trzech możliwych postaci wzór funkcji kwadratowej przedstawionej za pomocą wykresu

P–D

P –R

1

7. Nierówności kwadratowe

-      metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych

Uczeń:

-      wyjaśnia związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu kwadratowego

-      rozwiązuje nierówność kwadratową

-      wykorzystuje nierówności kwadratowe do rozwiązywania zadań o różnym stopniu trudności, w szczególności wyznacza dziedzinę funkcji, w której wzorze występuje pierwiastek kwadratowy

-      zaznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań dwóch nierówności kwadratowych

K

K–P

R –D

R–D

3

8. Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

-        równanie dwukwadratowe

-        rozwiązywanie równań metodą podstawiania

Uczeń:

-      rozpoznaje równania, które można sprowadzić do równań kwadratowych

-      wprowadza niewiadomą pomocniczą, podaje odpowiednie założenia i rozwiązuje równanie kwadratowe z niewiadomą pomocniczą

K

P–D

2

9. Układy równań

-      sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia

-      sieczna paraboli, styczna do paraboli

Uczeń:

-      rozwiązuje algebraicznie układ równań, z których jedno jest równaniem paraboli, a drugie – równaniem prostej

-      podaje interpretację geometryczną rozwiązania układu równań, znajdując punkty wspólne prostej i paraboli

K–R

P–D

2

10. Funkcja kwadratowa – zastosowania (1)

-      zastosowanie funkcji kwadratowej

-      najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej
w przedziale domkniętym

Uczeń:

-      stosuje pojęcia najmniejszej i największej wartości funkcji

-      wyznacza wartości najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

-      stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych

K

P–D

P–D

2

11. Funkcja kwadratowa – zastosowania (2)

-      tworzenie modelu matematycznego opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne

Uczeń:

-      przeprowadza analizę zadania tekstowego, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność lub funkcję kwadratową opisujące daną zależność

-      znajduje rozwiązanie, które spełnia ułożone przez niego warunki

-      przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź

-      rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności dotyczące funkcji kwadratowej

P–R

P–R

P–D

D

2

12. Powtórzenie wiadomości
13. Praca klasowa i jej omówienie

5

2. Wielomiany

25

1. Stopień i współczynniki wielomianu

-      definicje jednomianu, dwumianu, trójmianu, wielomianu

-      stopień jednomianu i wielomianu

-      współczynniki wielomianu, wyraz wolny wielomianu

-      pojęcie wielomianu zerowego

-      porządkowanie wielomianu

Uczeń:

-      rozróżnia wielomian, podaje przykład wielomianu, określa jego stopień i podaje wartości jego współczynników

-      zapisuje wielomian określonego stopnia o danych współczynnikach

-      zapisuje wielomian w sposób uporządkowany

-      oblicza wartość wielomianu dla danego argumentu

-      wyznacza brakujące współrzędne punktu należącego do wykresu danego wielomianu

-      sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu danego wielomianu

-      wyznacza współczynniki wielomianu spełniającego dane warunki

K

K

K

K–P

P

K–P

P–R

2

2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

-      dodawanie wielomianów

-      odejmowanie wielomianów

-      stopień sumy i różnicy wielomianów

-      wielomian dwóch (trzech) zmiennych

Uczeń:

-      wyznacza sumę wielomianów

-      wyznacza różnicę wielomianów

-      określa stopień sumy i różnicy wielomianów

-      szkicuje wykres wielomianu będącego sumą jednomianów stopnia pierwszego i drugiego

-      odczytuje informacje z danego wykresu wielomianu

-      wyznacza sumę i różnicę wielomianów wielu zmiennych

-      stosuje wielomian do opisania np. pola powierzchni prostopadłościanu i określa dziedzinę tego wielomianu

-      oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów

K

K

K–P

R

P–R

R

R

R

2

3. Mnożenie wielomianów

-      mnożenie wielomianów

-      stopień iloczynu wielomianów

Uczeń:

-      określa stopień iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia

-      wyznacza iloczyn danych wielomianów

-      podaje współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia wielomianów

-      wyznacza iloczyn wielomianów wielu zmiennych

K

K–R

P

R

2

4. Wzory skróconego mnożenia

-      wzory skróconego mnożenia:
(a b)³ oraz a³ b³

-     wzory:  oraz

Uczeń:

-      stosuje wzory na sześcian sumy lub różnicy oraz wzory na sumę lub różnicę sześcianów

-      przekształca wyrażenie algebraiczne, stosując wzory skróconego mnożenia

-      stosuje wzory skróconego mnożenia do obliczania objętości sześcianu

-      wyprowadza wzory skróconego mnożenia

-      stosuje wzory skróconego mnożenia do dowodzenia twierdzeń

-      wykorzystuje wzory skróconego mnożenia do rozwiązywania zadań o różnym stopniu trudności

K–P

P–D

K–P

R

D–W

R–D

1

5. Rozkład wielomianu na czynniki (1)

-      rozkład wielomianu na czynniki: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki

-      zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: kwadratu sumy i różnicy oraz wzoru na różnicę kwadratów

-      twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Uczeń:

-      wyłącza wspólny czynnik przed nawias

-      stosuje wzory na kwadrat sumy i różnicy oraz wzór na różnicę kwadratów do rozkładu wielomianu na czynniki

-      wykorzystuje rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki do rozkładu wielomianu na czynniki

-      zapisuje wielomian w postaci iloczynu czynników możliwie najniższego stopnia

-      rozkłada wielomian na czynniki w zadaniach różnych typów

K

K

P–R

P–R

R–D

2

6. Rozkład wielomianu na czynniki (2)

-      zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: sumy i różnicy sześcianów

-      metoda grupowania wyrazów

Uczeń:

-      stosuje metodę grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do rozkładu wielomianu na czynniki

-      stosuje wzory na sumę i różnicę sześcianów do rozkładu wielomianu na czynniki

K–R

P–R

2

7. Równania wielomianowe

-      pojęcie pierwiastka wielomianu

-      równanie wielomianowe

Uczeń:

-      rozwiązuje równanie wielomianowe

-      wyznacza punkty przecięcia wykresu wielomianu i prostej oraz dwóch wielomianów

-      podaje przykład wielomianu, gdy dane są jego stopień i pierwiastki

K–D

K–D

K–D

2

8. Dzielenie wielomianów

-      algorytm dzielenia wielomianów

-      podzielność wielomianów

Uczeń:

-     dzieli wielomian przez dwumian

-      stosuje schemat Hornera

-     zapisuje wielomian w postaci  

-      sprawdza poprawność wykonanego dzielenia

-      przeprowadza dowód twierdzenia o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x – a (algorytm Hornera) w szczególnym przypadku

K

R–D

K

K–P

W

1

9. Twierdzenie Bézouta

-      twierdzenie o reszcie

-      twierdzenie Bézouta

Uczeń:

-      sprawdza podzielność wielomianu przez dwumian x – a bez wykonywania dzielenia

-      wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a

-      sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu, i wyznacza pozostałe pierwiastki

-      wyznacza wartość parametru tak, aby wielomian był podzielny przez dany dwumian

-      sprawdza podzielność wielomianu przez wielomian
(x – p)(x– q) bez wykonywania dzielenia

-      przeprowadza dowód twierdzenia Bézouta

K

K

K–P

P

R–D

W

2

10. Pierwiastki całkowite wielomianu

-      twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Uczeń:

-      wskazuje liczby, które mogą być pierwiastkami całkowitymi wielomianu o współczynnikach całkowitych

-      rozwiązuje równanie wielomianowe z wykorzystaniem twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu

-      stosuje twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu do rozkładu wielomianu na czynniki

-      przeprowadza dowód twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu

K

K–P

R

W

3

11. Wielomiany – zastosowania

-      zastosowanie wielomianów do rozwiązywania zadań tekstowych

Uczeń:

-      opisuje wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznacza dziedzinę tego wielomianu

-      rozwiązuje zadania tekstowe, wykorzystując działania na wielomianach i równania wielomianowe

P–R

P–D

2

12. Powtórzenie wiadomości

13. Praca klasowa i jej omówienie

4

3. FUNKCJE WYMIERNE

20

1. Wykres funkcji

-      hiperbola – wykres funkcji
, gdzie

-      asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji

-      własności funkcji , gdzie

Uczeń:

-      szkicuje wykres funkcji , gdzie , i podaje jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności) oraz podaje równania asymptot jej wykresu

-      szkicuje wykres funkcji , gdzie  w podanym zbiorze

-      odczytuje z wykresu współrzędne punktów przecięcia prostej i hiperboli

-      wyznacza współczynnik a tak, aby funkcja  spełniała podane warunki

K

P–R

P

R

1

2. Przesunięcie wykresu funkcji  wzdłuż osi OY

-      metoda otrzymywania wykresu funkcji

Uczeń:

-      dobiera wzór funkcji do jej wykresu

-     szkicuje wykres funkcji , podaje jej własności oraz wyznacza równania asymptot jej wykresu

-      wyznacza wzór funkcji spełniającej podane warunki

K–P

K–P

P–R

1

3. Przesunięcie wykresu funkcji  wzdłuż osi OX

-      metoda otrzymywania wykresu funkcji

Uczeń:

-      dobiera wzór funkcji do jej wykresu

-      szkicuje wykres funkcji , podaje jej własności oraz wyznacza równania asymptot jej wykresu

-      wyznacza wzór funkcji spełniającej podane warunki

-     szkicuje wykres funkcji  i wyznacza równania jej asymptot

-      wyznacza równanie hiperboli na podstawie informacji podanych na rysunku

-      przekształca wzór funkcji danej w postaci ,
gdzie  i , do postaci ,
gdzie  i , oraz szkicuje jej wykres

K

K–P

P–R

R–D

D

W

1

4. Wyrażenia wymierne

-      wyrażenie wymierne

-      dziedzina wyrażenia wymiernego

-      funkcja wymierna

Uczeń:

-      wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego

-      oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej

-      upraszcza wyrażenia wymierne

-      wyznacza dziedzinę funkcji wymiernej

-      określa dziedzinę funkcji, w której wzorze występuje ułamek lub pierwiastek kwadratowy

K–R

K

K–R

P

D

1

5. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

-      mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

-      dziedziny iloczynu i ilorazu wyrażeń wymiernych

Uczeń:

-      wyznacza dziedziny iloczynu oraz ilorazu wyrażeń wymiernych

-      mnoży wyrażenia wymierne, podając ich iloczyn w najprostszej postaci

-      dzieli wyrażenia wymierne, podając ich iloraz w najprostszej postaci

K–R

K–R

K–R

2

6. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

-      dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

-      dziedziny sumy i różnicy wyrażeń wymiernych

-      przekształcenia wzorów

Uczeń:

-      wyznacza dziedziny sumy i różnicy wyrażeń wymiernych

-      dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, podając ich sumę i różnicę w najprostszej postaci

-      przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych, wyznacza z danego wzoru wskazaną zmienną

K

K–R

P–R

2

7. Równania wymierne (1)

-     równania wymierne typu

Uczeń:

-     rozwiązuje równania wymierne typu , podaje i uwzględnia odpowiednie założenia

-      rozwiązuje równania wymierne, stosując wzory skróconego mnożenia, i podaje odpowiednie założenia

K–R

P–R

2

8. Równania wymierne (2)

-      równania wymierne, wymagające przekształcania wyrażeń wymiernych

Uczeń:

-      rozwiązuje równania wymierne, przekształcając wyrażenia wymierne, podaje i uwzględnia odpowiednie założenia

-      podaje interpretację geometryczną rozwiązania równania wymiernego

P–R

D

1

9. Równania z wartością bezwzględną

-      równania z wartością bezwzględną

Uczeń:

-     rozwiązuje równania postaci , wykorzystując odległość między liczbami na osi liczbowej

-      stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań typu

-      rozwiązuje proste równania wymierne ze znakiem wartości bezwzględnej

K–P

P–D

R

2

10. Nierówności z wartością bezwzględną

-      nierówności z wartością bezwzględną

Uczeń:

-     rozwiązuje nierówności postaci: , , , , wykorzystując odległość między liczbami na osi liczbowej

-      stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania nierówności typu: , , ,

-      rozwiązuje proste nierówności wymierne ze znakiem wartości bezwzględnej

K–P

P–D

R

1

11. Wyrażenia wymierne – zastosowania (1)

-      zastosowanie wyrażeń wymiernych do rozwiązywania zadań tekstowych

Uczeń:

-      wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania zadań tekstowych (także osadzonych w kontekście praktycznym)

K–D

1

12. Wyrażenia wymierne – zastosowania (2)

-      zastosowanie zależności  
 

Uczeń:

-      wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonalne do rozwiązywania zadań tekstowych dotyczących związku między drogą, prędkością i czasem

P–D

2

13. Powtórzenie wiadomości

14. Praca klasowa i jej omówienie

3

4. TRYGONOMETRIA

24

1. Trójkąty prostokątne

-      twierdzenie Pitagorasa
i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

-      wzory na długość przekątnej kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

Uczeń:

-      podaje twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa oraz wzory na długość przekątnej kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

-      stosuje twierdzenie Pitagorasa do wyznaczania długości odcinków w trójkątach prostokątnych

-      korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego

-      przeprowadza dowód twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

K

P–D

P–R

W

2

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

-      definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

-      wartości funkcji trygonometrycznych kątów:
30º, 45º, 60º

Uczeń:

-      podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

-      podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów:
30º, 45º, 60º

-      oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków

-      oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach

-      dowodzi zależności między wartościami funkcji trygonometrycznych kątów ostrych

K

P

K

P–R

W

2

3. Trygonometria – zastosowania

-      odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów w tablicach

-      odczytywanie miary kąta, dla którego dana jest wartość funkcji trygonometrycznej

Uczeń:

-      odczytuje wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta w tablicach lub wartości kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych

-      wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych

K

P–R

2

4. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

-      rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Uczeń:

-      rozwiązuje trójkąty prostokątne

-      wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania związków miarowych w trójkątach i czworokątach

K–P

P–D

2

5. Związki między funkcjami trygonometrycznymi

-      podstawowe tożsamości trygonometryczne

-      zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie prostokątnym:
,
,
 

Uczeń:

-      podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta oraz między funkcjami trygonometrycznymi kątów  i

-      wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich

-      sprawdza, czy istnieje kąt ostry spełniający podane zależności

-      stosuje poznane związki do upraszczania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

-      uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi

-      przeprowadza dowody podstawowych tożsamości trygonometrycznych

K

P–R

P–R

P–D

R–D

W

2

6. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (1)

-      ramię początkowe, ramię końcowe kąta

-      kąt wypukły, kąt rozwarty

-      funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

Uczeń:

-      określa znak funkcji trygonometrycznej kąta rozwartego

-      oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta wypukłego, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym ramieniu; przedstawia ten kąt na rysunku

-      stosuje zależności między funkcjami trygonometrycznymi kąta wypukłego

-      znając wartość tangensa kąta wypukłego, rysuje ten kąt w układzie współrzędnych

K

K–P

R

R

2

7. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (2)

-      zależności:

Uczeń:

-      oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90°, 120°, 135°

-      korzysta z tablic i przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych do wyznaczenia miary kąta rozwartego

K–P

K–P

1

8. Pole trójkąta

-      wzory na pole trójkąta
( , , wzór Herona)

-      wzór na pole trójkąta równobocznego

Uczeń:

-      podaje różne wzory na pole trójkąta

-      oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór

-      wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do obliczania pól innych wielokątów

-     dowodzi prawdziwości wzoru

K

P–R

R–D

R

3

9. Pole czworokąta

-      wzory na pola: równoległoboku, rombu, trapezu

Uczeń:

-      rozróżnia czworokąty oraz zna ich własności

-      podaje wzory na pola: równoległoboku, rombu, trapezu

-      oblicza pola czworokątów

-      wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania związków miarowych w czworokątach

-      uzasadnia związki miarowe w czworokątach

K

K

K–R

K–D

R–W

3

10. Powtórzenie wiadomości

11. Praca klasowa i jej omówienie

5

5. PLANIMETRIA

23

1. Okrąg

-      długość okręgu

-      kąt środkowy

-      długość łuku okręgu

-      wzajemne położenie okręgów

Uczeń:

-      rozpoznaje kąty środkowe w okręgu

-      oblicza długość okręgu i długość łuku okręgu, stosuje poznane wzory do obliczania obwodów figur

-      określa liczbę punktów wspólnych dwóch okręgów

-      określa wzajemne położenie okręgów, mając dane promienie tych okręgów oraz odległość między ich środkami

-      wykorzystuje styczność okręgów do rozwiązywania zadań

K

K

K–P

K–P

P–R

2

2. Koło

-      pole koła

-      pole wycinka koła

-      pierścień kołowy

-      odcinek koła

Uczeń:

-      podaje wzory na pole koła i pole wycinka koła

-      stosuje poznane wzory do obliczania pól figur

-      oblicza pole figury, wykorzystując styczność okręgów

K

K

P–R

1

3. Wzajemne położenie okręgu i prostej

-      styczna do okręgu

-      sieczna okręgu

-      twierdzenie o odcinkach stycznych

Uczeń:

-      określa wzajemne położenie okręgu i prostej, porównując odległość środka okręgu od prostej z promieniem okręgu

-      stosuje własności stycznej do okręgu do rozwiązywania zadań

-      określa liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu

K

P–D

P–R

2

4. Kąty w okręgu

-      pojęcie kąta wpisanego

-      twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz wnioski z tego twierdzenia

-      twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu

-      twierdzenie o cięciwach

Uczeń:

-      rozpoznaje kąty wpisane w okrąg oraz wskazuje łuki, na których są one oparte

-      stosuje twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz wnioski z tego twierdzenia

-      stosuje twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu do rozwiązywania zadań

-      stosuje twierdzenie o cięciwach do wyznaczania długości odcinków w okręgach

-      formułuje twierdzenia dotyczące kątów w okręgu i dowodzi ich prawdziwości

-      przeprowadza dowód twierdzenia o cięciwach

K

K–R

K–R

R–D

D–W

W

2

5. Okrąg opisany na trójkącie

-      okrąg opisany na trójkącie

-      promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

-      wzór na pole trójkąta  

Uczeń:

-      rozwiązuje zadania dotyczące okręgu opisanego na trójkącie równobocznym oraz prostokątnym

-      rozwiązuje zadania dotyczące okręgu opisanego na trójkącie

-      stosuje wzór

-      dowodzi prawdziwości wzoru

K–D

P–D

P–D

D

2

6. Okrąg wpisany w trójkąt

-      okrąg wpisany w trójkąt

-      wzór na pole trójkąta
 

Uczeń:

-      rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny oraz prostokątny

-      rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt

-     stosuje wzór

-     dowodzi prawdziwości wzoru

K–P

P–D

D–W

P–D

D

2

7. Wielokąty foremne

-      wielokąt foremny

-      miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

-      promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym

-      promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny

Uczeń:

-      rozpoznaje wielokąty foremne i podaje ich własności

-      wyznacza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

-      wyznacza liczbę boków wielokąta foremnego, gdy dana jest suma miar jego kątów wewnętrznych

-      uzasadnia i stosuje zależność między długością boku a promieniem okręgu opisanego na wielokącie foremnym lub wpisanego w wielokąt foremny

K–P

P–R

P–R

D–W

1